まず、簡単に言うと、基本的なお礼の言い方が Thank you. で、よりカジュアルなのが Thanks. です。
thank の意味は、感謝する、お礼を言う
この thank って言うのは「感謝する、お礼を言う」という意味の動詞です。だから本当は、I thank you. で「私は君に感謝する」「私はあなたにお礼を言う」という意味になるのです。つまり、Thank you. は主語の I (私) が落ちたカジュアルな言い方となります。
とは言うもの、現在では主語の I (私) はまず付けません。つけるとかなり硬い言い方になります。スピーチの締めなどでは時々使いますが、まず使わないと思ってもらって結構です。フォーマルな場でも Thank you. で構いません。
もし感謝の気持ちを付け加えたいのであれば、Thank you very much! と、very much を語尾につければ大丈夫です。
そして thank は動詞なので、感謝する、お礼を言う、という意味でもちろん使えます。
彼は私に感謝している。
彼は私にお礼を言った、彼は私に感謝した。
また、お礼の対象を付け加えたければ、for を使います。
彼は私に夕食のお礼を言った。
動詞を使いたければ、動名詞にすれば入れることが出来ます。これは thank you でも同様です。
来てくれてありがとう。
なんてよく聞くのではないでしょうか。
Thanks は名詞
一方、thanks は名詞の thank に複数形の s がついた形なのです。分かりにくいですね。日本語で言えば、「感謝!」ってところでしょうか(笑)
友人同士などのカジュアルな場では非常に使われます。
メールの最後に書く方もいるし、Many thanks て書く方も多いですね。
丁寧なお礼には appreciate
thank you は定番表現化してしまったので、きちんとお礼を言いたい時は、appreciate などを使います。ただ、この appreciate は人を目的語に取れないのです。
この時は例えば、
あなたの援助に感謝します。
などと、何かを後ろに持ってこなければならないので要注意です。
thanks と thank you の使い分け
普段一般的に使うなら Thank you が無難。友人同士なら Thanks でも大丈夫。友人同士でも少し改まって言いたければ、Thank you に切り替えましょう。
そしてより感謝を伝えたい時は、very much を付けて、Thank you very much に。かしこまって言いたい時は、I appreciate your help などが良いでしょう。(Yasu)

英会話カーディム講師。元外資系エンジニアでMBA保持。英語の体系に詳しく、日本人が効率良く英語を習得する方法を日々研究しています。楽しく分かりやすい授業がモットーです。初心者でお困りの方は是非お越し下さい。(^^)